Geschichte der Mathematik

Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften. Ihre erste Blüte erlebte sie noch vor der Antike in Mesopotamien, Indien und China, später in der Antike in Griechenland und im Hellenismus. Von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des „rein logischen Beweisens“ und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie.

In der frühen Neuzeit führte François Viète Variablen ein, René Descartes eröffnete durch die Verwendung von Koordinaten einen rechnerischen Zugang zur Geometrie. Die Betrachtung von Änderungsraten (Fluxionen) sowie die Beschreibung von Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten („Quadratur“) führten zur Infinitesimalrechnung von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton. Newtons Mechanik und sein Gravitationsgesetz waren auch in den folgenden Jahrhunderten eine Quelle richtungweisender mathematischer Probleme wie des Dreikörperproblems.

Ein anderes Leitproblem der frühen Neuzeit war das Lösen zunehmend komplizierter werdender algebraischer Gleichungen. Zu dessen Behandlung entwickelten Niels Henrik Abel und Évariste Galois den Begriff der Gruppe, der Beziehungen zwischen Symmetrien eines Objektes beschreibt. Als weitere Vertiefung dieser Untersuchungen können die neuere Algebra und insbesondere die algebraische Geometrie angesehen werden.

Eine damals neue Idee im Briefwechsel zwischen Blaise Pascal und Pierre de Fermat im Jahr 1654 ist als Beginn der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung anzusehen. Die neuen Ideen und Verfahren eroberten viele Bereiche. Aber über Jahrhunderte hinweg kam es zur Aufspaltung der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie in separate Schulen. Versuche, den Begriff „Wahrscheinlichkeit“ explizit zu definieren, gelangen nur für Spezialfälle. Erst das Erscheinen von Andrei Kolmogorows Lehrbuch Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung im Jahr 1933 schloss die Entwicklung der Fundamente moderner Wahrscheinlichkeitstheorie ab.

Teilwissenschaften der Mathematik im gymnasialen Unterricht

Im gymnasialen Unterricht werden verschiedene Teilwissenschaften der Mathematik angesprochen und thematisiert:

Während in der Unterstufe Grundzüge der Algebra und geometrische Vorstellungen von Flächen und Volumina entwickeln sollen, beginnt in der Mittelstufe ein systematischer Zugang zur Infinitesimalrechnung durch die Einführung des zentralen Begriffs der Funktion. Antike Geometrische Probleme wie Konstruktion mit Zirkel und Lineal sowie die Thematisierung der Kreiszahl 𝜋 runden eine mathematische Grundbildung ab. In der Oberstufe bauen die Schülerinnen und Schüler ihr Fundamentalwissen über Funktionen in Form von Kurvendiskussionen aus und erleben die Geometrie im dreidimensionalen Koordinatensystem. Die Stochastik wird im Schleifenprinzip in jeder Altersstufe auf angemessenem Niveau aufgegriffen und Schuljahr für Schuljahr weiterentwickelt. Die Abiturprüfung als Abschluss der gymnasialen Bildung fordert zu 50% Wissen in Analysis und zu jeweils 25% Wissen in Geometrie und Stochastik ein.

Das wissenschaftliche Prinzip der Mathematik “Fortschreiten durch Problemlösen”

Kennzeichnend für die Mathematik ist weiterhin die Weise, wie sie – ausgehend von bereits bekanntem Wissen – durch das Bearbeiten von „eigentlich zu schweren“ Problemen voranschreitet und sich so weiterentwickelt.

Sobald ein Grundschüler das Addieren natürlicher Zahlen gelernt hat, ist er in der Lage, folgende Frage zu verstehen und durch Probieren zu beantworten: „Welche Zahl muss man zu 3 addieren, um 5 zu erhalten?“ Die systematische Lösung solcher Aufgaben aber erfordert die Einführung eines neuen Konzepts: der Subtraktion. Die Frage lässt sich dann umformulieren zu: „Was ist 5 minus 3?“ Sobald aber die Subtraktion definiert ist, kann man auch die Frage stellen: „Was ist 3 minus 5?“, die auf eine negative Zahl und damit bereits über die Grundschulmathematik hinaus führt.

Ebenso wie in diesem elementaren Beispiel beim individuellen Erlernen ist die Mathematik auch in ihrer Geschichte fortgeschritten: auf jedem erreichten Stand ist es möglich, wohldefinierte Aufgaben zu stellen, zu deren Lösung weitaus anspruchsvollere Mittel nötig sind. Oft sind zwischen der Formulierung eines Problems und seiner Lösung viele Jahrhunderte vergangen und ist mit der Problemlösung schließlich ein völlig neues Teilgebiet begründet worden: so konnten mit der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert Probleme gelöst werden, die seit der Antike offen waren.

Auch eine negative Antwort, der Beweis der Unlösbarkeit eines Problems, kann die Mathematik voranbringen: so ist als Beispiel die Unmöglichkeit zur allgemeinen Auflösung algebraischer Gleichungen vom Grad n>4 und die Unmöglichkeit der Drittelung eines Winkels nur mit Zirkel und Lineal als Beispiel zu nennen.

Zum Download stehen noch einige Informationen bereit: